LINKI

• strona główna
• CV
• publikacje
• dla studentów

Informacje dla studentów

Poniżej przedstawiam propozycję tematów prac magisterskich, na które można pisać pod moim kierunkiem. Warunkiem wstępnym współpracy jest umiejętność pisania w TeX-u lub gotowość nauczenia się.

• Twierdzenie Blumberga i funkcje Sierpińskiego-Zygmunda.
  W pracy zostanie przedstawione twierdzenie Blumberga, mówiące o tym, że każda funkcja rzeczywista jest ciągła, po obcięciu, na zbiorze gęstym. Z drugiej strony istnieją funkcje, tzn. funkcje Sierpińskiego-Zygmunda, które obcięte do jakiegokolwiek zbioru mocy continuum są nieciągłe. Zostanie omówiona potencjalna możliwość wzmocnienia wyniku Blumberga.
  Bibliografia:
  1. A. B. Kharazishvili, Strange functions in real analysis, 2nd ed., Pure and Applied Mathematics, vol. 272,Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2006.
  2. Shinoda, Juichi. Some consequences of Martin's axiom and the negation of the continuum hypothesis. Nagoya Math. J. 49 (1973), 117–125.
  3. Kunen, Kenneth Set theory. An introduction to independence proofs. Reprint of the 1980 original. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983. xvi+313 pp. ISBN: 0-444-86839-9
• Własności funkcji Takagi
  Funkcja Takagi to jeden z najprostszych przykładów funkcji nieróżniczkowalnych w każdym punkcie. Funkcja Takagi ma własność samopodobieństwa, która jest podstawową własnością obiektów zwanych fraktalami. W ostatnich latach funkcja Takagi i jej uogólnienia znalazły zastosowanie w teorii liczb, teorii grafów, chaotycznych systemach dynamicznych, teorii aproksymatywnej wypukłości, a nawet przy pomocy funkcji Takagi można równoważnie sformułować słynną hipotezę Riemanna. W pracy będą badane wybrane własności funkcji Takagi.
  Bibliografia:
  1. Allaart, Pieter C.; How large are the level sets of the Takagi function? Monatsh. Math. 167 (2012), no. 3-4, 311–331.
  2. Jeffrey C. Lagarias, Zachary Maddock. Level Sets of the Takagi Function: Local Level Sets, arXiv:1009.0855v7
  3. Kechris, Alexander S. Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156. Springer-Verlag, New York, 1995. xviii+402 pp. ISBN: 0-387-94374-9
• Twierdzenie Toepliza-Silvermana i jego uogólnienie.
  Klasyczne twierdzenie Toepliza-Silvermana podaje charakteryzację nieskończonych macierzy regularnych o wyrazach nieujemnych. Macierze takie przekształcają ciągi zbieżne na ciągi zbieżne. Sytuację, gdy w miejsce ciągów zbieżnych dać A-statystycznie zbieżne ciągi rozważali Chi-Tung Chang i Chang-Pao Chen. Prawdopodobnie statystyczną zbieżność można zastąpić przez zbieżność względem ideału, by uzyskać dalsze uogólnienie twierdzenia Toepliza-Silvermana. Praca będzie zawierała powyższe wyniki.
  Bibliografia:
  1. Chang, Chi-Tung; Chen, Chang-Pao; Matrix maps of statistically convergent sequences. Linear Algebra Appl. 437 (2012), no. 12, 2896–2909.
  2. Boos, Johann. Classical and modern methods in summability. Assisted by Peter Cass. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. Oxford University Press, Oxford, 2000. xiv+586 pp. ISBN: 0-19-850165-X
• Aproksymacja liczb rozmytych.
  Wśród liczb rozmytych istnieją specjalne liczby rozmyte, takiej jak przedziałowe, trójkątne, trapezowe. W pracy rozważana będzie możliwość aproksymacji liczb rozmytych przez liczby rozmyte (lub ich skończone sumy) z wybranych klas. Podstawowa wiedza na temat liczb rozmytych znacznie ułatwi pisanie pracy.
  Bibliografia:
  1. Grzegorzewski, Przemysław. Nearest interval approximation of a fuzzy number. Theme: Fuzzy intervals. Fuzzy Sets and Systems 130 (2002), no. 3, 321–330.
  2. Yeh, Chi-Tsuen. Weighted semi-trapezoidal approximations of fuzzy numbers. Fuzzy Sets and Systems 165 (2011), 61–80.
  3. Didier J. Dubois. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications (Mathematics in Science & Engineering). Academic Press, 1980.

TeX

Link do strony z edytorem, którego używam: http://www.latexeditor.org/. Link do bibliotek MikTeX'a: http://miktex.org/. Najpierw trzeba zainstalować MikTeX'a a potem LeD'a. W zakładce 'How to start' jest napisane jak LeD'a' skonfigurować pod MikTeX'em. Pisanie w TeX'u ułatwi z całą pewnością lektura książki "Nie za krótkie wprowadzenie do systemu LaTeX". TeX-owy plik źródłowy mojego doktoratu można znaleźć tutaj - mam nadzieję, że będzie pomocny.